数学建模在高职数学教学中的探索和实践
林 琳
（浙江国际海运职业技术学院，浙江 舟山316000)
摘 要：高等职业教育的培养目标是向社会输送高素质、高技能的应用型人才。根据 这 个目标，高职数学教学的改革应以培养学生的数学应用意识、数学应用能力为突破口。本文 分析了在高职院校开展数学建模的必要性及方法。
关键词：数学建模；开拓视野；创新精神；数学软件包；渗透；兴趣 ；为专业服务
中图分类号：G718．5 文献标识码：A 文章编号：1008-7508（ 2009）03-0096-04
高等职业教育的培养目标为：以就业为目的，以能力为本位，为生产、服务、管理第一 线培养高素质、高技能的应用型人才。根据这个目标，高职数学教学改革应以培养学生的数 学应用意识，训练学生用数学知识解决实际问题的能力为主要突破口。开展数学建模应该是 推动高职数学教学改革进程的一个很好的办法。
一、什么是数学建模
数学建模是将一个实际问题，根据其特有的内在规律，作出一些必要的简化和假设，运 用适当的数学工具将其转化成一个明确的数学问题，用数学方法精确或近似地解决该问题， 并将求得的数量结果返回到实际问题，检验结果是否与实际现象符合，这样的过程多次反复 进行，直至能较好地解决实际问题为止。
数学模型的基本步骤是：
二、在高职院校开展数学建模的必要性
1、有助于学生将来更好地适应工作岗位
现代科学技术发展的一个重要特征是科学技术
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日益精确化、定量化，许多问题的解决， 都必须建立其模型，数学模型的应用已渗透到各个领域，如工程、经济、管理、医学、生态 、环境、社会、体育、人文等。高职院校培养的技能型人才是推动技术创新、实现科技成果 转化成生产力的重要力量。对于广大高职学生，将来除了参加实际生产外，还应在一定限度 上加入到项目的研发和工艺流程的改进上来。这就要求在校生掌握基本的数学建模能力。
2、有助于激发学生的学习积极性
随着高等教育大众化进程的加快，高等职业教育的规模迅速扩大，生源质量逐渐下降， 许多学生在文化基础课学习尤其是数学学习上存在厌学情绪；另一方面，传统的数学教学过 分注重知识的系统性和逻辑的严密性，理论和实践严重脱节，学生看不到数学有什么用，更 不知道数学什么时候用、怎么用。这种现象极大地挫伤了学生的学习积极性，阻碍了学生 潜能的发挥。数学建模以贴近学生认知水平、贴近学生实际生活、学生感兴趣的社会热点问 题、自然界奇妙而令人感兴趣的问题为教学内容，以教师启发、学生自主探索为教学方法。 这种教学，使学生感到数学在生活中无处不在，感受到数学的巨大魅力，从而产生学好数学 的巨大动力，而且使学生逐步养成自觉观察社会、提出问题、建立数学模型、解决问题的习 惯。
3、有助于丰富学生知识，开拓视野，学会学习①
数学模型丰富多彩，从彩票的中奖率、生产计划的制定、社会经济的预测、交通网络的 规划、全球瞩目的环境污染和生态平衡，都可作为数学建模的背景材料。数学模型不管在数 学方面，还是在实际方面，涉及的范围都相当广泛。任何人不可能掌握数学模型涉及到的所 有知识，很多知识只能通过临时查阅资料来获得。例如“马尔萨斯人口预测”问题，需 要学 生利用网络查阅这个问题的背景及这个模型的现实意义。又比如“住房贷款及偿还问题”， 就需要学生对于该模型所涉及的领域知识进行搜集和整理。数学建模教会了学生面临实际问 题时，如何通过搜集信息和查阅文献，加深对问题的理解，组建合理的数学模型。这个过程 就是自主学习、探索发现的过程。“授人予鱼，不如授人予渔”。通过这样的训练，学生具 备了一定的自我学习的方法和能力，这与现代社会要求人才具有终身学习的能力是相符合 的。
4、有助于培养学生的创新意识和创新能力
我国传统高等数学内容过多注重确定性问题的研究，采用的是满堂灌的教学方式。这种 方法容易造成学生的“惰性思维”，难以充分展示学生的个性。而数学建模是通过大量生动 有趣的实例来激发学生学习的兴趣和热情。数学建模不同于传统的解题方法，在建模过程中 没有固定的模式、固定的答案，即使是对同一问题进行研究，其采用的方法和思路也是灵活 多样的。建模没有最好，只有更好。从对实际问题的简化假设，到数学模型的构造，再到数 学问题的解决，最后到模型在实际生活中的应用，无不需要创造性的思维。通过数学建模， 培养了学生的洞察力、想象力和创造力，提高了学生解决实际问题的能力。
5、有助于提高学生相互协助的能力②
善于交流沟通，具有团队合作精神是现代社会对年青人的要求之一。数学模型不仅需要 一定的数学知识，还需要跨学科、跨专业的知识。模型的建立，单靠一个人的思考往往是不 全面的，需要成立一个小组，小组成员各有所长，分工合作，经常在一起讨论，互相启发、 互相补充、互相支持、团结一致，才能使问题得到较圆满的解决。数学建模培养了学生团队 协作和勇于攻关的精神。
6、有助于提高学生计算机应用能力
计算机的迅速发展，使数学的应用成为可能。利用数学软件包（如Mathematic,Maple,M atlab等），我们可以进行复杂的计算，对模型进行模拟，验证模型的可行性和有效性。计 算机这一技术手段，激发了学生的好奇心，点燃了学生的求知欲，提高了学生的计算机应用 能力。
三、开展数学建模，深化我校高等数学教学改革
传统的高等数学教学以理论为主，忽略了理论联系实际的训练。 许多学生在理论上知 道数学知识很有用，但在专业课程的学习中似乎看不到数学有什么用、什么时候用、怎么用 ， 至于数学对思维方式的影响更是知者寥寥，这种现象导致学生学习积极性很低，学过的 知识很快就忘记了，课堂效果很差，使数学在培养学生综合素质、为专业服务上发挥不了应 有的作用。数学建模是联系理论和实际的桥梁。通过数学建模，使学生认识到数学有用，感 受到自身数学知识的不足，从而产生学习的愿望，真正成为学习的主人。结合我校实际，在 实施数学建模，深化高等数学教学改革时，设想如下：
1、在日常教学中渗透建模的思想和方法③
在日常教学中渗透数学建模思想和方法，可以使全部学生受到建模的熏陶，在潜移默化 中提高数学的应用能力。数学教材中的很多概念、公式和定理都可以作为建模的材料。在教 学中，应揭示这些理论的来龙去脉，让学生了解知识产生、发展、应用的全过程，明白为什 么要学数学，带着问题主动学习。例如导数的概念可以从变速直线运动的瞬时速度、交流电 的电流强度等实际问题抽象出来。导数的意义是函数相对于自变量的瞬时变化率，以此为依 据，所有有关变化率的实际问题都可用导数模型解决，这也是利用微分方程建立模型的基础 。又如积分的概念可以从曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题中抽象出来。积 分的基本思想是“局部以直代曲取近似，无限分割求和的极限”，利用定积分解决问题的关 键是求微元。利用定积分模型可以解决变力作功、不均匀细棒的质量、交通信号灯时间设置 、商品存储费用优化等实际问题。运用数学建模法学习数学概念、公式、定理，使学生经历 数学家研究创造时的思考过程，不仅有助于学生理解知识的本质意义，而且可以彻底改变学 生认为数学无用的错误认识。
2、数学建模应以学生的实际水平为基础
建模难易程度应符合高职学生的知识水平和学习能力，过难和过易都不利于激发学生的 学习兴趣。在选取案例时应选取较简单的、贴近生活实际的问题。例如讲述导数在求极值问 题上的应用时，可引入易拉罐材料最省问题：在饮料市场上，我们发现销售量很大的饮料（ 如可口可乐、青岛啤酒）等饮料罐（易拉罐）的形状和尺寸都是一样的，这是不是偶然的？ 显然，这不是偶然的，这是使材料最省的最优设计。当然，对单个易拉罐，这种最优设计节 省的钱是有限的，但对成万上亿个易拉罐节省的钱就很可观了。
建模过程如下：
模型假设：
(1)把易拉罐看作一个圆柱体，且不考虑材料厚度；
(2)易拉罐的容积为V（常量）；
(3)易拉罐底面半径为R，高为h，表面积为S，S可视为r的连续函数。
模型分析：因为不考虑材料厚度，要使材料最省，就是使圆柱体的表面积最小。
模型建立：有假设可得
这个值与我们实际测量的值有一定的差距，这为什么？实际上，为了使易拉罐更牢固、 更稳定、更美观，易拉罐的形状由三部分组成，最上面是圆台，中间是圆柱，最下面是一个 球面，而且还要考虑材料的厚度。模仿上面的建模方法，我们先建立材料体积的数学模型， 再用导数的知识结合数学软件包求出R与h的比值，求得R:h＝1：4，这与我们实际测量的值 是非常接近的。
另外，像用初等数学知识解决“洗衣机用水设计”、“抵押贷款和分期付款”问题 ，用定积分知识解决“储存费用优化”、“湖泊治污”问题，用微分方程解决“人 口预测”问题等等，都可作为常规课堂教学中渗透数学建模思想和方法的材料，这些内容的 添加，使看来十分枯燥的理论知识与丰富多彩的外部世界之间架起了桥梁，开拓了学生的视 野和思路，培养了学生用数学知识解决实际问题的能力。
3、数学建模应与专业紧密联系，发挥高等数学对专业的服务作用
用专业知识作为背景，加工成数学模型，可使学生认识到数学在专业中的地位。既加深 了对专业知识的理解，又培养了学生应用数学的兴趣。对于我校航海专业，在数学常规教学 中，可针对性地引入船舶航行方面的数学模型，以提高学生的专业素养。例如，在进行船舶 避碰决策时，利用DCPA（两船相遇最小距离）和TCPA（两船到达最小相遇距离时的时间）计 算模型，实时、动态、快捷地获取各目标船相对与本船的DCPA和TCPA信息是非常关键的。
通过数学建模，可得DCPA和TCPA的计算模型为：
DCPA＝RT×sin(R－αT－π)
DCPA＝RT×cos(R－αT－π)/VR
其中，RT为他船相对与本船的距离；
R为他船相对速度的航向；
αT为他船相对与本船的方向。
像这样，通过对一些以专业为背景、学生有能力尝试的问题的研究，把专业问题转化为 数学问题，可以增加数学教学的目的性和凝聚力。对学生在建模过程中碰到的专业方面和数 学方面的困难，教师要鼓励学生通过请教教师和查资料及时将要用到的知识补上。在强烈 的学习愿望下，人的潜能是最容易被激发出来的。
4、数学建模应加强实践，发挥现代信息技术的巨大作用④
教学手段上我们要充分发挥计算机的作用，建模的重点应放在模型构造、模型检验和模 型推广应用上，抽象的论证推理、烦琐的计算都可以放在计算机中完成。可安排一定的学时 讲授Matlab、Mathematica、Maple等数学软件，加强学生的动手操作能力，使学生在“做数 学”中发现数学，变被动学习为主动学习，最终提高学生的创造性。
“数学源于现实，并且用于现实”，高等数学只有与实践相结合，才能体现它的生命力 ，才能在学生中引起共鸣，引导学生走向科学的殿堂。
注释：
① 李乔祥. 论数学建模竞赛对提高学生综合素质的作用［J］. 高等理科教育 , 2004,01:61.
②李乔祥. 论数学建模竞赛对提高学生综合素质的作用［J］. 高等理科教育 , 2004,01: 62.
③ 徐天华. 高等数学教学中融入数学建模思想初探［J］. 阿坝师范高等专科学校学报 , 2006,09:56，57.
④王积建.在高职院校开设“数学实验”选修课的设想［J］.浙江工贸职业技术学院学报, 2004,9:42.
参考文献：
［1］ 李乔祥. 论数学建模竞赛对提高学生综合素质的作用［J］. 高等理科教育 , 2 004,01.
［2］ 徐天华. 高等数学教学中融入数学建模思想初探［J］. 阿坝师范高等专科学校 学报 , 2006,09.
［3］ 王积建.在高职院校开设“数学实验”选修课的设想［J］.浙江工贸职业技术学 院学报,2004,9.
［4］钟继雷.应用高等数学［M］.哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社,2007,09.
收稿日期：2009-03-26
作者简介：林琳（1971—），女，浙江舟山，浙江国际海运职业技术学院讲师，研究方向 ：职业教育。
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